Das Joulesche Gesetz beschreibt, wie elektrische Energie in Wärmeenergie umgewandelt wird, wenn Strom durch einen Widerstand fließt. Die erzeugte Wärmemenge Q = I² · R · t wächst mit dem Quadrat der Stromstärke I, mit dem Widerstand R und mit der Zeit t, die zugehörige Wärmeleistung ist P = I² · R (Wikipedia, Stromwärmegesetz). James Prescott Joule veröffentlichte den Zusammenhang 1840 und wies bis 1842 die Proportionalität zu I² nach, Heinrich Lenz fand ihn unabhängig davon, deshalb heißt das Gesetz auch Joule-Lenz-Gesetz oder Stromwärmegesetz (Wikipedia, Joule heating). Dieser Beitrag leitet die Formel her, erklärt Formelzeichen und Einheiten, rechnet eine Hausleitung, einen Heizdraht und eine Motorwicklung mit echten Werkstoffdaten durch und zeigt, warum die Stromwärme der Wicklung die Wärmeklasse der Isoliermaterialien bestimmt, die GOBA dafür liefert.
Von der elektrischen Arbeit zur Stromwärme: die Herleitung in drei Zeilen
Fließt durch einen Widerstand R bei der Spannung U während der Zeit t der Strom I, verrichtet der Strom die elektrische Arbeit W = U · I · t. In einem ohmschen Widerstand landet diese Arbeit vollständig als Wärme, es gibt dort keinen Motor, der sie in Bewegung, und keine Batterie, die sie in Chemie umsetzt. Das Ohmsche Gesetz U = R · I ersetzt die Spannung, und aus U · I · t wird I² · R · t. Wer stattdessen den Strom ersetzt, erhält die zweite Form U² / R · t. Beide beschreiben dieselbe Wärmemenge, die erste rechnet mit dem Strom, der durch das Bauteil fließt, die zweite mit der Spannung, die daran anliegt.
Der Faktor I² ist der Kern des Gesetzes. Der Strom steckt zweimal in der Formel: einmal als Zahl der Ladungen, die je Sekunde durch den Leiter wandern, und einmal über den Spannungsabfall R · I, den jede dieser Ladungen überwinden muss. Doppelter Strom heißt deshalb vierfache Wärme, halber Strom ein Viertel. Mikroskopisch stoßen die beschleunigten Elektronen gegen die Atomrümpfe des Gitters und geben ihre Bewegungsenergie als Gitterschwingung ab. In einem Supraleiter mit R = 0 entsteht keine Stromwärme (Wikipedia, Stromwärmegesetz).
Die Fachsprache unterscheidet nach dem Zweck. Ist die Wärme gewollt, wie im Heizdraht, heißt sie joulesche Wärme oder Stromwärme. Ist sie ungewollt, wie in Leitung, Transformator und Motorwicklung, heißt dieselbe Wärme Stromwärmeverlust, ohmscher Verlust oder Kupferverlust. Die joulesche Erwärmung ist der Temperaturanstieg, den diese Wärme in einem Bauteil mit der Wärmekapazität C auslöst: Δϑ = Q / C, solange keine Wärme abfließt. Verluste, die im Isolierstoff selbst durch Umpolarisation entstehen, sind etwas anderes, sie behandelt der Beitrag zu den dielektrischen Verlusten.
Formelzeichen und Einheiten: Joule, Watt und Kilowattstunde
Die Einheit der Wärmemenge Q ist das Joule, benannt nach demselben Physiker. Ein Joule ist eine Wattsekunde, also die Energie, die eine Leistung von einem Watt in einer Sekunde umsetzt, und zugleich ein Newtonmeter. Für Energierechnungen ist die Kilowattstunde praktischer: 1 kWh sind 1.000 W über 3.600 s, also 3,6 Millionen Joule. Die Tabelle fasst die Formeln zusammen, die für jede Rechnung zur Stromwärme genügen.
| Größe | Zeichen | Einheit | Formel |
|---|---|---|---|
| Wärmemenge, Energie | Q, W | J = W · s, 1 kWh = 3,6 MJ | Q = I² · R · t |
| Wärmeleistung | P | W | P = I² · R = U · I = U² / R |
| Stromstärke | I | A | I = U / R |
| Widerstand eines Leiters | R | Ω | R = ρ · l / A |
| Spezifischer Widerstand | ρ | Ω · mm²/m | Kupfer 0,0175, Aluminium 0,0278 (HTW Dresden) |
| Widerstand bei Temperatur ϑ | R(ϑ) | Ω | R(ϑ) = R20 · (1 + α · (ϑ − 20 °C)) |
| Temperaturanstieg ohne Wärmeabgabe | Δϑ | K | Δϑ = Q / (m · c) |
Die Formel für den Leiterwiderstand macht aus dem Gesetz ein Werkzeug: Länge l in Metern, Querschnitt A in Quadratmillimetern und der spezifische Widerstand ρ des Werkstoffs liefern R, und mit dem Strom steht die Wärme fest. Für Kupfer nennt das Deutsche Kupferinstitut im Datenblatt Cu-ETP 0,018 Ω · mm²/m im geglühten Zustand und 0,017 bis 0,018 kaltumgeformt, Hochschulskripte rechnen mit 0,0175. Wie der Kehrwert dieser Größe in Datenblättern angegeben wird, steht im Beitrag zur elektrischen Leitfähigkeit.
Rechenbeispiele mit echten Zahlen: Leitung, Heizdraht, Motorwicklung
Beispiel 1: Hausleitung mit 2,5 mm² und 16 A
Eine Steckdosenleitung aus Kupfer mit 2,5 mm² Querschnitt führt 25 m vom Verteiler zum Verbraucher. Der Strom fließt hin und zurück, die Leiterlänge beträgt also 50 m, und der Widerstand ist R = 0,0175 · 50 / 2,5 = 0,35 Ω. Bei 16 A, dem Nennstrom des Leitungsschutzschalters, entstehen P = 16² · 0,35 = 89,6 W Stromwärme, verteilt auf die ganze Leitung. In acht Stunden Volllast sind das 0,72 kWh, die niemand nutzt. Mit 4 mm² sinkt der Verlust auf 56 W, mit 10 A statt 16 A auf 35 W. Der Querschnitt wirkt linear, der Strom quadratisch. Deshalb begrenzt DIN VDE 0298-4 die Belastbarkeit über die Leitertemperatur: 2,5 mm² mit PVC-Isolierung dürfen je nach Verlegeart rund 21 bis 27 A führen, damit der Leiter 70 °C nicht überschreitet (Elekrechner, Belastbarkeitstabelle).
Beispiel 2: Heizwendel eines 2.000-W-Wasserkochers
Hier ist die Wärme das Produkt. Bei 230 V zieht ein 2.000-W-Kocher I = 2.000 / 230 = 8,7 A, die Heizwendel muss also R = U² / P = 230² / 2.000 = 26,45 Ω haben. Aus Kupfer wäre das kein Draht mehr, es wäre eine Rolle: Bei 0,5 mm Durchmesser (0,196 mm²) hat Kupfer 0,089 Ω je Meter, für 26,45 Ω bräuchte es 297 m. Heizleiter sind deshalb Legierungen mit hohem spezifischem Widerstand: Konstantan 0,49, Nickel-Chrom 80/20 1,1 und Kanthal A-1 1,45 Ω · mm²/m (Wikipedia, Heizleiterlegierung). Aus Kanthal A-1 mit 0,5 mm Durchmesser reichen 3,58 m, und die Legierung hält bis 1.400 °C aus, Kupfer wäre lange vorher geschmolzen. Die 2.000 W erwärmen einen Liter Wasser mit c = 4.190 J/(kg · K) (el-gor.at) von 20 auf 100 °C mit Q = 1 · 4.190 · 80 = 335 kJ, das dauert 168 s, wenn keine Wärme an die Umgebung abfließt.
Beispiel 3: Statorwicklung eines Drehstrommotors
In einer Drehstromwicklung summieren sich die Verluste der drei Stränge: P = 3 · R · I² mit dem Gleichstromwiderstand eines Strangs. Die PTB hat das an einem Asynchronmotor der Baugröße 132 nachgemessen: Die Statorwicklung mit 3,74 kg Kupfer setzt bei 50 Hz und 20 Nm 135,5 W um, die Rechnung ergab eine Übertemperatur der Wicklung von 36,1 K, die Messung 35,3 K. Bei 36,2 Nm stiegen die Verluste auf 422,7 W und die gemessene Übertemperatur auf 86,2 K (Lehrmann, Bulletin SEV/VSE 2006). Das Drehmoment hat sich um 80 % erhöht, die Wicklungsverluste um 210 %, so sieht das Quadrat in der Praxis aus.
Die Wärmekapazität zeigt, wie wenig Zeit bleibt. 3,74 kg Kupfer mit 0,386 J/(g · K) (Kupferinstitut) speichern 1.440 J je Kelvin. Mit 422,7 W und ohne Wärmeabfuhr stiege die Temperatur um 0,29 K je Sekunde, 90 K wären nach fünf Minuten erreicht. Im echten Motor fließt der größte Teil über Nutisolation und Blechpaket ins Gehäuse ab, darum bleibt die Wicklung im Dauerbetrieb stehen. Die PTB beziffert den Wärmewiderstand zwischen Wicklung und Blechpaket mit 0,059 K/W: Jedes Watt, das in der Wicklung entsteht, hebt sie um 0,059 K über das Blechpaket. Wie die Wicklung aufgebaut ist, in der diese Wärme entsteht, beschreibt der Beitrag zur Elektromotorwicklung.
Der Widerstand steigt mit der Temperatur, und die Wärme mit ihm
Das Joulesche Gesetz hat eine Rückkopplung, die in Lexikoneinträgen fehlt. Der Widerstand von Metallen nimmt mit der Temperatur zu. Für Cu-ETP gibt das Kupferinstitut 0,018 Ω · mm²/m bei 20 °C, 0,023 bei 100 °C und 0,03 bei 200 °C an, der Temperaturkoeffizient α beträgt 0,00393 je Kelvin und gilt von −100 bis 200 °C. Als Faustregel wächst der Widerstand von Kupfer und Aluminium um 0,4 % je Kelvin (Wikipedia, Temperaturkoeffizient). Eine Wicklung, die kalt 150 W Verlust hat, setzt bei 115 °C Wicklungstemperatur 150 · (1 + 0,00393 · 95) = 206 W um, 37 % mehr bei gleichem Strom. Mehr Wärme, höherer Widerstand, noch mehr Wärme: Ohne ausreichende Kühlung läuft dieser Kreis in die Überhitzung.
Dieselbe Abhängigkeit ist zugleich das Messinstrument. Wer den Widerstand einer Kupferwicklung kalt und nach dem Abschalten warm misst, erhält ihre mittlere Temperatur ohne einen einzigen Fühler: Δϑ = (Rwarm − Rkalt) / Rkalt · (234,5 + ϑkalt). Die Kupferkonstante 234,5 K ist nichts anderes als 1/α − 20 °C, für Aluminium gilt 228,1 K (IEEE 399, zitiert bei Industrial Monitor Direct). IEC 60034-1 schreibt dieses Widerstandsverfahren für die Übertemperatur von Wicklungen vor. Heizleiter gehen den umgekehrten Weg: Konstantan hat einen Temperaturkoeffizienten von nur ±0,00004 je Kelvin, sein Widerstand steigt von 20 bis 600 °C um gerade 4 % (Elektropraktiker, Widerstandswerkstoffe), die Heizleistung bleibt stabil.
Warum Hochspannung die Verluste senkt
Für eine feste Leistung P = U · I sinkt der Strom im gleichen Maß, wie die Spannung steigt, und die Verluste I² · R fallen mit dem Quadrat. Ein Beispiel: 100 kW sollen über eine Leitung mit 0,5 Ω Widerstand. Bei 400 V fließen 250 A, der Verlust beträgt 250² · 0,5 = 31,25 kW, fast ein Drittel der Leistung. Bei 20 kV Mittelspannung fließen 5 A, der Verlust beträgt 12,5 W. Das Spannungsverhältnis ist 50, der Verlustfaktor 50² = 2.500. Darum transformiert jedes Netz die Spannung für den Transport hoch und erst beim Verbraucher wieder herunter, die Transformatoren kosten dafür selbst 0,5 bis 2 % Kupferverluste bei Bemessungslast (Wikipedia, Kupferverluste).
Die gemessenen Netzverluste bestätigen die Rechnung. In Deutschland gehen rund 5,7 % der bereitgestellten elektrischen Energie im Netz verloren, eine 380-kV-Leitung verliert je 100 km bei Volllast gut 1 % (Wikipedia, Übertragungsverlust). Die Stadtwerke München weisen die Verluste je Netzebene aus (zitiert bei Proteus Solutions):
| Netzebene | Spannung | Verlust |
|---|---|---|
| Höchstspannung | 220 und 380 kV | 0,44 % |
| Hochspannung | 110 kV | 0,29 % |
| Umspannung Hoch- auf Mittelspannung | Transformator | 0,37 % |
| Mittelspannung | 10 bis 30 kV | 0,60 % |
| Umspannung Mittel- auf Niederspannung | Transformator | 1,13 % |
| Niederspannung | 230 und 400 V | 2,42 % |
Die Niederspannung verliert fünfmal mehr als die Höchstspannung, obwohl ihre Leitungen kurz sind. Die Ebene mit dem kleinsten U trägt den größten Strom je Kilowatt, und der geht quadratisch ein.
Die Stromwärme der Wicklung bestimmt die Wärmeklasse der Isolierung
Im Elektromotor ist die Stromwärme der Statorwicklung der größte Verlustposten, die Fachzeitschrift Elektrotechnik nennt 34 % der gesamten Motorverluste. Diese Wärme entsteht im Kupfer, aber sie altert die Isolierung, die das Kupfer umgibt: Drahtlack, Nutisolation, Phasentrenner, Deckschieber. IEC 60034-1 begrenzt deshalb die Übertemperatur der Wicklung über 40 °C Kühlmittel nach der Wärmeklasse des Isoliersystems: 80 K für Klasse B, 105 K für Klasse F, 125 K für Klasse H, gemessen im Widerstandsverfahren (IEC Motores). Die Differenz zur Grenztemperatur der Klasse ist der Zuschlag für den heißesten Punkt der Wicklung, den der Mittelwert aus der Widerstandsmessung nicht zeigt.
| Wärmeklasse | Übertemperatur nach IEC 60034-1 | Grenztemperatur | Flächenisolierstoffe bei GOBA |
|---|---|---|---|
| B | 80 K | 130 °C | Polyesterfolie, DMD-Laminat, Polyestervlies |
| F | 105 K | 155 °C | NMN-Laminat, imprägnierte Glimmerprodukte |
| H | 125 K | 180 °C | Nomex 410, NKN-Laminat |
| N und R | Werte in IEC 60034-1 | 200 und 220 °C | Polyimidfolie Kapton, Mikanit |
Die Auslegung folgt daraus in zwei Schritten. Erstens bestimmt die Stromwärme der Wicklung bei Nennstrom die Übertemperatur, und Übertemperatur plus 40 °C plus Zuschlag ergeben die Mindestklasse. Zweitens wählt, wer Reserve will, die Klasse darüber. Üblich ist Klasse F mit Ausnutzung nach B: Die Isolierung verträgt 155 °C, die Maschine wird bis 130 °C betrieben. Die 25 K Reserve verlängern die Lebensdauer der Isolierung nach der 10-Kelvin-Regel grob um den Faktor 5, denn jede dauerhafte Überschreitung der Grenztemperatur um 10 K halbiert sie. Die vollständige Klassentabelle von Y bis C steht im Beitrag zu den Isolierstoffklassen, die Werkstoffe oberhalb von 130 °C mit Dauer- und Kurzzeitwerten im Beitrag zur Hochtemperatur-Isolierung.
Wärmeabfuhr durch dünne Isolierlagen: wo GOBA ansetzt
Die Stromwärme muss aus der Wicklung heraus, und ihr Weg führt durch die Isolierung ins Blechpaket. Elektroisolierstoffe leiten Wärme schlecht: Polyesterfolie 0,2, Nomex 0,14, Kapton 0,12, Glimmer und Mikanit 0,3 bis 0,7 W/(m · K), Kupfer dagegen 394 (Kupferinstitut). Für den Wärmedurchlass zählt deshalb die Wärmeleitfähigkeit geteilt durch die Dicke. Eine Nutisolation aus 0,25 mm Polyesterfolie lässt je Quadratmeter und Kelvin 800 W durch, dieselbe Folie mit 0,5 mm nur 400 W. Die doppelte Dicke verdoppelt den Temperaturunterschied zwischen Wicklung und Blech. Wie λ gemessen wird und welche Werte die einzelnen Werkstoffe haben, steht im Beitrag zur Wärmeleitfähigkeit.
Daraus folgt unsere Empfehlung, und sie widerspricht einem verbreiteten Reflex: Eine dickere Isolierung ist selten die sicherere. Sie hält die Spannung besser, aber sie hält auch die Wärme in der Wicklung, und jede 10 K mehr halbieren die Lebensdauer genau dieser Isolierung. Wir legen die Dicke nach der elektrischen Anforderung aus, mit Reserve für Prüfspannung und Kantenqualität, ohne Zuschlag aus Gewohnheit. GOBA schneidet dafür Isolierstoffe ab 0,023 mm Dicke, als Schnittrollen von 5 bis 1.600 mm Breite mit plus minus 0,1 mm, und stanzt Nutisolationen, Phasentrenner und Deckschieber bis 1.000 x 2.000 mm. Bei der Hairpin-Wicklung liegt der Flachleiter mit ganzer Fläche an der Nutwand, dort entscheidet die Isolierlage noch stärker über den Wärmepfad, weshalb wir für Antriebe in der Elektromobilität Werkstoff und Dicke mit dem Kunden auf die Stromdichte abstimmen. Schicken Sie uns Wärmeklasse, Nennstrom und Zeichnung, dann empfehlen wir den Aufbau aus unseren Isolierteilen und Formteilen.
